Zifferblatt berechnen

Wir starten mit einem Koordinaten-System S, dessen x-y-Koordinaten in der Bewegungsebene der Sonne liegen (z steht senkrecht auf dieser Ebene) und x zeigt am Frühjahrspunkt (21. März) in Richtung Sonne. Wenn sich die Erde um einen Winkel ψ um die Sonne dreht, so stellt SS = (cos ψ, sin ψ, 0) ein Einheitsvektor in Richtung Sonne dar.

Fig. 1: Rotation der Erde um die Sonne mit Koordinatensystem S. x,y in der Ekliptik und die Achse z senkrecht dazu.

Um in ein erdgebundenes Koordinatensystem E zu wechseln, drehen wir das Koordinatensystem um den Neigungswinkel ε der Erdachse. Die Drehung muss um die x-Achse erfolgen. Indem wir den Sonnen-Vektor SS mit der Rotationsmatrix Rx multiplizieren, erhalten wir den Sonnenvektor SE im erdgebundenen System.

Fig. 2: Die Transformation des Koordinatensystems S in das erdgebundene Koordinatensystem E

Die z-Achse des Koordinatensystems E zeigt in dieselbe Richtung wie die Erdachse. Bei einer Eigenrotation der Erde um einen Winkel 𝞅 dreht sich das Koordinatensystem E mit. Die neuen Koordinaten erhält man durch Multiplikation von SE(ψ) mit der Rotationsmatrix Rz.

Durch die gewählte Positionierung der Sonnenuhr, steht das Zifferblatt parallel zur Erdachse (s. Fig. 3, links). Da die z-Achse des Koordinatensystems E in Richtung der Erdachse und die y-Achse in Richtung Osten zeigen, liegen y-z auch in der Ebene des Zifferblattes. Die x-Achse steht senkrecht dazu. Der Einheitsvektor SE(ψ,𝜑) zeigt folglich in Richtung Sonne in Bezug auf das Zifferblatt.

Fig. 3: Das Koordinatensystem E in Bezug auf das Zifferblatt

Als Ausgangspunkt für den Winkel 𝜑, der die Eigenrotation der Erde beschreibt, wählen wir den Sonnenhöchststand 12 Uhr SZ. Dieser zeichnet sich dadurch aus, dass die y-Komponente des Vektors SE(ψ,𝜑) gleich Null sein muss:

Wir führen einen Bild-Vektor BE(ψ,𝜑) ein, der ein Vielfaches des Einheitsvektor SE(ψ,𝜑) ist. Den Vervielfachungs-Faktor G wählen wir so, dass die x-Komponente von BE(ψ,𝜑) der Höhe h der Löcher über dem Zifferblatt entspricht. So beschreiben die y-und z-Komponenten von BE(ψ,𝜑) die Projektion des Loches auf das Zifferblatt.

Um von der Sonnenzeit zur Mittel Europäischen Zeit (MEZ) zu gelangen müssen wir einerseits die Lokalzeit-Differenz und andererseits die Zeitgleichung berücksichtigen. Während ersteres eine konstante Differenz darstellt, ist die Zeitgleichung eine Abhängigkeit vom jeweiligen Tag des Jahres. Die Herleitung der Zeitgleichung ist komplex, weshalb wir es vorziehen eine häufig benutzte Näherungsformel zu verwenden:

Eine auf dieser Basis berechnete Ganzjahres-Skala wäre – wegen dem Einfluss der Zeitgleichung – sehr schwierig abzulesen. Wir erstellen deshalb zwei Skalen: eine von der Winter-Sonnwende bis zur Sommer-Sonnwende und eine von der Sommer-Sonnwende bis zur Winter-Sonnwende.

Fig 4: Zifferblatt-Skalen links für die Zeit Winter-Sonnwende –> Sommer-Sonnwende und rechts für Sommer-Sonnwende –> Winter-Sonnwende

Jeweils um die Winter-Sonnwende und um die Sommer-Sonnwende müssen wir die Minuten-Skala austauschen.

Dem Unterschied zwischen Sommer- und Winter-Zeit wird dadurch Rechnung getragen, dass die einzelnen Löcher oberhalb mit der Sommer- und unterhalb mit der Winter-Zeit beschriftet sind.

Realisierung + erste Erfahrungen